Combien font tous les nombres de 1 à 100 additionnés : 1 + 2 + 3 + … + 99 + 100 ?
Vous avez répondu
La réponse5 050
Comprendre pas à pas
- Additionner 100 nombres un par un est long. Cherchons un raccourci.
- Associons le premier et le dernier : 1 + 100 = 101. Puis le deuxième et l'avant-dernier : 2 + 99 = 101. Puis 3 + 98 = 101.
- Chaque paire donne 101. En continuant jusqu'à 50 + 51 = 101, tous les nombres de 1 à 100 sont utilisés, une seule fois chacun.
- Il y a 100 nombres, donc 100 ÷ 2 = 50 paires, de 101 chacune : 50 × 101 = 5 050.
Pour vérifier Essayons avec un cas plus petit : 1 + 2 + 3 + 4 = 10. Deux paires (1 + 4 et 2 + 3) de 5 chacune : 2 × 5 = 10. La méthode fonctionne.
Pourquoi on se trompe
Le piège
On croit qu'il faut additionner cent nombres un par un, avec le risque de se tromper en route. Il existe pourtant un raccourci : regrouper les nombres par paires.
Le réflexe à retenir
Avant de se lancer dans un long calcul, cherchez une régularité : des paires qui donnent toujours le même total simplifient tout.
Les nombres, par paires
Les paires : le premier et le dernier, le deuxième et l'avant-dernier, etc.1 + 1002 + 993 + 98…50 + 51= 50 paires de 101
Total : le nombre de paires, multiplié par le total de chacune50 × 101= 5 050
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